IMOSL in BxMO

Cyclisch, dus stel $a=max(a,b,c)$.

Stel $n$ oneven. We weten dat $a^n-b^n=k(c-b)$ en $b^n-c^n=k(a-c)$. We weten dat $a\ge b \Rightarrow a^n\ge b^n$ want $n$ is oneven. Hieruit halen we dat $a^n-b^n=k(c-b)\ge 0 \Rightarrow c-b\ge 0 \Leftrightarrow b\le c \Rightarrow b^n-c^n=k(a-c) \le 0 \Rightarrow a-c\le 0 \Leftrightarrow a\le c$ wat enkel kan als $a=c$. Maar het is makkelijk te checken dat dan ook $a=b=c$

Stel $n$ even en stel $a\not= b\not=c$. We kunnen $a^n-b^n=k(c-b), b^n-c^n=k(a-c)$ en $c^n-a^n=k(b-a)$ alledrie vermenigvuldigen en bekomen dat:
$\frac{(a^n-b^n)(b^n-c^n)(c^n-a^n)}{(a-b)(b-c)(a-c)}=k^3$ Minstens twee getallen hebben dezelfde pariteit. Stel $a$ en $b$, dan is $\frac{a^n-b^n}{a-b}=(a^{n-1}+\dots b^{n-1})$ en dit heeft een even aantal termen met dezelfde pariteit, dus het is sowieso even, een contradictie, wat wederom betekent dat $a=b=c$. $\blacksquare$