BxMO 2009

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Vind alle functies $f\mathbb{N}_{o}\rightarrow\mathbb{N}_{o}$ die voldoet aan:

$\bullet\ f(n)$ is altijd een kwadraat $\forall n\in\mathbb{N}_{o}$
$\bullet\ f(m+n)=f(m)+f(n)+2mn$ $\forall m,n\in\mathbb{Z}_{>0}$

Vraag 2 Opgelost!

Zij $n$ een natuurlijk getal en zij $k$ een oneven natuurlijk getal. Laat
bovendien $a, b$ en $c$ gehele getallen zijn (niet noodzakelijk positief) waarvoor geldt:
$a^n + kb = b^n + kc = c^n + ka$
Bewijs dat $a = b = c.$

Vraag 3 Opgelost!

Zij $n \ge 1$ een geheel getal. In dorp $X$ wonen $ n$ meisjes en $n$ jongens; elk
meisje hier kent elke jongen. In dorp $Y$ wonen $n$ meisjes: $g_1, g_2, . . . , g_n$, en $2n - 1$
jongens: $b1, b2, . . . , b_{2n-1}.$ Voor $i = 1, 2,..., n$ geldt dat meisje $g_i$ jongens $b1, b2, . . . ,b_{2i-1}$ kent en geen andere jongens. Zij r een geheel getal met $1 \le r \le n. $ In elk van de dorpen wordt een feest gehouden waarbij $r$ meisjes uit het betreffende dorp en $r$ jongens
uit hetzelfde dorp geacht worden met elkaar te dansen in $r$ dansparen. Echter, elk meisje wil alleen dansen met een jongen die ze kent. Noem $X(r)$ het aantal manieren waarop
we $r$ dansparen kunnen kiezen in dorp $X$; noem $Y (r)$ het aantal manieren waarop we $r$
dansparen kunnen kiezen in dorp $Y .$
Bewijs dat $X(r) = Y (r) $ voor iedere $r$.

Vraag 4 Opgelost!

Zij gegeven een trapezium $ABCD$ met evenwijdige zijden $AB$ en $CD.$ Zij $ E$
een punt op de lijn $BC$, maar buiten lijnstuk $[BC]$, zodat lijnstuk $[AE]$ snijdt met lijnstuk
$[CD]$. Neem aan dat er een punt $F$ bestaat op het inwendige van lijnstuk $[AD]$ zodat $\angle{EAD} = \angle{CBF}$. Zij $I$ het snijpunt van $CD $en $EF$ en zij $J$ het snijpunt van $AB$ en
$EF.$ Zij $K$ het midden van lijnstuk $ EF$ en neem aan dat $K$ verschillend is van $I$ en $J.$
Bewijs dat $K$ op de omgeschreven cirkel van $\triangle{ABI}$ ligt dan en slechts dan als $K$ op de
omgeschreven cirkel van $\triangle{CDJ}$ ligt.