driehoekjes vormen
Opgave - JWO 2010 dag 1 vraag 3
In een regelmatige zeshoek $ABCDEF$ wordt $A$ verbonden met het midden van $[DC]$ en zo ook $C$ en $E$ met middens van $[EF],[AB]$
Bewijs dat het middenste driehoekje dezelfde oppervlakte heeft als de 3 kleinere errond.
- login om te reageren
Oplossing
Figuur: http://www1.picturepush.com/photo/a/5685804/img/Anonymous/BEWIJS-ZESHOEK...
We noemen het midden van $[AB]$ $M$, het midden van $[CD]$ $N$, en het midden van $[EF]$ $O$.
De oppervlakte van de grote zeshoek als we elke zijde gelijkstellen aan $x$ is $\frac
{3x^2\sqrt{3}}{2}$.
De oppervlakte van driehoek $EMD$ is gelijk aan de hoogte van de zeshoek maal $x$ gedeeld door $2$ (opp. driehoek).
Hoogte vinden we in BDC door |BD| te vinden, en dat is $x\sqrt{3}$
$\Rightarrow S_{EMD} = \frac{x^2 \sqrt {3}}{2} = \frac {opp. zeshoek}{3}$
$AMEF$ en $BMDC$ zijn congruent (gelijke zijden + hoeken) $\Rightarrow AMEF=\frac {opp. zeshoek}{3}$
Het is dus vanzelfsprekend dat $CNAB$ en $EOCD$ ook een derde van de oppervlakte van de zeshoek zijn.
$\Rightarrow AMEF + CNAB + EOCD = opp. zeshoek$
Als we nu de gebieden noemen zoals op de figuur, dan is: $1+2+3+4+5+6+7 = opp. zeshoek = (1+2+6)+(2+3+4)+(4+5+6)$ $= 1+2+2+3+4+4+5+6+6$
$\Rightarrow 7 = 2+4+6$ WWMB