$(0,0,0)$ is al een oplossing. Het is makkelijk in te zien dat als $a,b$ of $c$ gelijk is aan $0$, dat ze dan allemaal gelijk zijn aan nul. Vanaf nu nemen we $a,b,c$ niet gelijk aan $0$.
Bekijk de vergelijking $\pmod4$. Aangezien een kwadraat $\equiv 0,1\pmod4$, is $RL\equiv 0,1\pmod4$. Het $RL$ kan enkel $\equiv 1\pmod4$ als $a^2\equiv b^2\equiv 1\pmod4$.
In dit geval kan echter nooit gelijkheid optreden met $LL$, dus is $RL\equiv 0\pmod4$.
Bijgevolg is $a^2\equiv b^2\equiv c^2\equiv 0\pmod4$.
Stel $a=2^m x, b=2^m y, c= 2^m z$ waarbij $m\ge 1$ het grootste getal is zodat $x,y,z$ allen geheel zijn, maar niet allen even.
Dan is het linkerlid deelbaar $2^{2m}$, maar niet door $2^{2m+2}$, want $x^2+y^2+z^2 \equiv 1,2,3 \pmod{4}$
Het rechterlid is deelbaar door $2^{4m}$.
Contradictie, want $4m\ge 2m+2$.
Bijgevolg is $(0,0,0)$ de enige oplossing.
$\square$
Oplossing
$(0,0,0)$ is al een oplossing. Het is makkelijk in te zien dat als $a,b$ of $c$ gelijk is aan $0$, dat ze dan allemaal gelijk zijn aan nul. Vanaf nu nemen we $a,b,c$ niet gelijk aan $0$.
Bekijk de vergelijking $\pmod4$. Aangezien een kwadraat $\equiv 0,1\pmod4$, is $RL\equiv 0,1\pmod4$. Het $RL$ kan enkel $\equiv 1\pmod4$ als $a^2\equiv b^2\equiv 1\pmod4$.
In dit geval kan echter nooit gelijkheid optreden met $LL$, dus is $RL\equiv 0\pmod4$.
Bijgevolg is $a^2\equiv b^2\equiv c^2\equiv 0\pmod4$.
Stel $a=2^m x, b=2^m y, c= 2^m z$ waarbij $m\ge 1$ het grootste getal is zodat $x,y,z$ allen geheel zijn, maar niet allen even.
Dan is het linkerlid deelbaar $2^{2m}$, maar niet door $2^{2m+2}$, want $x^2+y^2+z^2 \equiv 1,2,3 \pmod{4}$
Het rechterlid is deelbaar door $2^{4m}$.
Contradictie, want $4m\ge 2m+2$.
Bijgevolg is $(0,0,0)$ de enige oplossing.
$\square$