USAMO 1976

Vraag 1 Opgelost!

De vakjes van een $4\times7$ schaakbord worden rood of blauw gekleurd. Toon aan dat, ongeacht de kleuring, we een rechthoek kunnen vinden met vier verschillende vakjes als hoeken die allemaal dezelfde kleur hebben. Vind een tegenvoorbeeld om aan te tonen dat dit niet waar is voor een $4\times6$ schaakbord.

Vraag 2

$AB$ is een vaste koorde van een cirkel, verschillend van de diameter en $CD$ is een variabele diameter. Vind de meetkundige plaats van het snijpunt van $AB$ en $CD$.

Vraag 3 Opgelost!

Los op in gehele getallen:
$$a^2+b^2+c^2=a^2b^2.$$

Vraag 4

Een viervlak $ABCD$ heeft ribben met totale lengte 1. De hoeken in $A$ ($\angle BAC$ etc.) zijn allemaal $90^\circ$. Vind het grootst mogelijke volume van het viervlak.

Vraag 5 Opgelost!

De veeltermen $a(x),b(x),c(x),d(x)$ voldoen aan $a(x^5)+xb(x^5)+x^2c(x^5)=(1+x+x^2+x^3+x^4)d(x)$. Toon aan dat $a(1)=0$.