rekenkundig gemiddelde van kwadraten

Merk op dat $\sum \limit_{i=1}^n {i^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, dit is gemakkelijk aan te tonen met bv. inductie.
Dan is het gemiddelde gelijk aan $\frac{(n+1)(2n+1)}{6}$.
Omdat $2n+1$ oneven is, is dus $2\mid n+1$ en $ggd(n+1,2n+1)=1$ We onderscheiden nu twee gevallen:
Als $6\mid n+1$ dan is $\frac{n+1}{6}$ en $2n+1$ een kwadraat. Het eerste levert ons dat $n+1=6k^2 \Rightarrow 2n+1=m^2=12k^2-1$ maar aangezien $-1$ geen kwadraatrest modulo $12$ is, zijn er geen oplossingen.
Als $2\mid n+1$ en $3\mid 2n+1$ hebben we dat $\frac{n+1}{2}$ en $\frac{2n+1}{3}$ volkomen kwadraten zijn. Dit betekent dat $n+1=2k^2$ en $2n+1=3m^2$ met $m$ oneven. De eerste vergelijking verdubbelen en daarna de tweede ervan aftrekken geeft:
$1=4k^2-3m^2$ wat betekent dat $2k-1=3t^2,2k+1=s^2$ of $2k+1=3t^2,2k-1=s^2$
De kleinste oplossing met $k,m>1$ is $k=13,m=15$ wat we direct uit de $2$ gevallen konden zien.
Dit betekent dat voor $n=337$ het gemiddelde $195^2$ is.
Dit is direct de kleinste $n$ die voldoet.