USAMO 1983

Vraag 1

Als zes punten willekeurig maar in volgorde worden gekozen op de omtrek van een cirkel, wat is dan de kans dat de driehoek die gevormd wordt door de eerste drie punten, disjunct is met de driehoek gevormd door de laatste drie?

Vraag 2 Opgelost!

Toon aan dat de vijf wortels van de vijfdegraadsvergelijking $ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0$ niet allemaal reëel zijn als $2b^2<5ac$.

Vraag 3

$S_1,S_2,\ldots,S_n$ zijn deelverzamelingen van de reële rechte. Iedere $S_i$ is de unie van twee gesloten intervallen. Iedere drie $S_i$ hebben een punt gemeen. Toon aan dat er een punt is die minimum tot de helft van de $S_i$ behoort.

Vraag 4

Toon aan dat je met een liniaal en een passer de hoogte van een viervlak kan construeren als je de lengte van al de zijden weet.

Vraag 5

Bewijs dat een open interval op de reële rechte van lengte $1/n$ maximum $\frac{n+1}2$ rationale punten $\frac pq$ bevat met $n\ge q\ge1$.