USAMO 1981

Vraag 1

Toon aan dat als $n$ geen veelvoud is van 3, dat we de hoek $\displaystyle\frac\pi n$ in drie kunnen delen met enkel liniaal en passer.

Vraag 2

Wat is het grootst aantal steden dat kan voldoen aan volgende criteria? Ieder koppel steden is onmiddellijk verbonden door precies één van volgende vervoersmiddelen: trein, bus of vliegtuig. Op zijn minst 1 koppel is verbonden door een trein, 1 koppel door een bus, en 1 koppel door een vliegtuig. Geen enkele stad heeft een busverbintenis, een treinverbintenis, en een vliegtuigverbintenis. Geen drie steden $A,B,C$ zijn zodanig dat de verbindingen tussen $AB,AC$ en $BC$ allemaal vliegtuig, bus of trein zijn.

Vraag 3

Toon aan dat voor $\alpha,\beta,\gamma$ hoeken van een driehoek geldt dat
$$\frac{3\sqrt3}2\geq\sin3\alpha+\sin3\beta+\sin3\gamma\geq-2.$$
Wanneer treedt gelijkheid op?

Vraag 4

Een convexe veelhoek heeft $n$ zijden. Ieder hoekpunt wordt verbonden met een punt $P$ niet in hetzelfde vlak. Als $A,B,C$ naburige hoekpunten zijn van de veelhoek, neem dan de hoek tussen de vlakken $PBA$ en $PBC$. De som van de $n$ zo'n hoeken is gelijk aan de som van de hoeken gevormd door het punt $P$ en de zijden van de veelhoek (zoals onder andere $\angle APB$). Toon aan dat $n=3$.

Vraag 5

Als $x>0$, toon dan aan dat
$$\lfloor nx\rfloor\geq\sum_{k=1}^n\frac{\lfloor kx\rfloor}k.$$