USAMO 1978

Vraag 1

De som van vijf reële getallen is 8 en de som van hun kwadraten is 16. Wat is de grootst mogelijke waarde voor het maximum van die vijf getallen?

Vraag 2

Twee vierkante kaarten geven precies hetzelfde stuk grond weer, maar op een verschillende schaal. De kleinere kaart wordt op de grotere gelegd en past binnen zijn grenzen. Toon aan dat er een uniek punt op de bovenste kaart bestaat die precies boven het corresponderende punt op de onderste kaart ligt. Hoe kunnen we dit punt construeren?

Vraag 3 Opgelost!

Je weet dat alle getallen van 33 tot en met 73 voorgesteld kunnen worden als som van natuurlijke getallen $a_1,a_2,...,a_k$ waarvoor $\frac1{a_1}+...+\frac1{a_k}=1$. Toon aan dat dan hetzelfde waar is voor alle natuurlijke getallen groter dan 73.

Vraag 4

Toon aan dat als de hoek tussen ieder paar zijvlakken van een viervlak gelijk is, het viervlak regelmatig is. Moet een viervlak regelmatig zijn als vijf van deze hoeken gelijk zijn?

Vraag 5 Opgelost!

Er zijn negen gedelegeerden op een conferentie, en éénieder spreekt maximum drie talen. Als je weet dat onder elke drie gedelegeerden er minimum twee een gemeenschappelijke taal spreken, toon dan aan dat er drie gedelegeerden zijn met een gemeenschappelijke taal.