BrMO 2 2013

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Bestaan er oneindig veel koppels van natuurlijke getallen $(n,m)$ zodat $n|m^2+1$ en $m|n^2+1$?

Vraag 2

Een punt $P$ zit in een driehoek $\triangle ABC$ zodat $\angle ABP =\angle PCA$.
Het punt $Q$ is zo gekozen dat $PBQC$ een parallelogram is.
Bewijs dat $\angle QAB = \angle CAP.$

Vraag 3

Beschouw de verzameling van alle positieve getallen die in binaire schrijfwijze exact $2013$ cijfers heeft en meer nullen dan enen in die schrijfwijze.
Zij $n$ het aantal cijfers en $s$ hun som.
Bewijs dat wanneer we $n+s$ binair schrijven , het meer nullen dan enen bevat.

Vraag 4

Veronderstel dat $ABCD$ een vierkant is en $P$ een punt op de ingeschreven cirkel van het vierkant.
Is het mogelijk dat alle lengten $PA, PB, PC, PD $ en $AB$ geheel zijn?