|

Het antwoord is ja.

We zien dat $(5,2)$ (ook $(2,1)$ en $(1,1)$) een goed paar is.
Merk op dat m en n steeds relatief priem zijn, als ze voldoen aan de delingen.
We gaan nu aantonen dat je van een geldig paar $(m,n)$ met m>n naar een ander geldig $(m,n')$ kunt overgaan, waarbij $n'=\frac{m^{2}+1}n$.

Bewijs:
(1) $n'^{2}+1=\frac{(m^{2}+1)^{2}+n^{2}}{n^{2}}$, doordat $(m,n)$ een goed paar is weten we dat het RL en dus ook het LL geheel zijn.
Aangezien de teller van het LL congruent is aan $n^{2}+1$ mod m wat dan weer congruent is aan 0 mod m omdat $(m,n)$ een goed paar, en omdat ggd$(n,m)=1$ is $n'^{2}+1$ een veelvoud van m.

Vanuit $n=\frac{m^{2}+1}{n'}$ weten we ook dat $n'\mid m^{2}+1.$
(2)
Er geldt dat $n'=\frac{m^{2}+1}n> \frac{m^{2}+1}m \ge m$.

Uit (1) en (2) volgt nu dat de overgang compleet is door $(n',m)$ nu aan te nemen als het nieuwe "geldig" paar,.
Hiermee kan men steeds nieuwe paren genereren.