BrMO 2 2000

Vraag 1

Twee snijdende cirkel $C_1$ en $C_2$ hebben een gemeenschappelijke raaklijn die $C_1$ in $P$ raakt en $C_2$ in $Q$. De twee cirkels snijden in $M$ en $N$, waar $N$ dichter bij $PQ$ ligt dan $M$. Bewijs dat de driehoeken $MNP$ en $MNQ$ dezelfde oppervlaktes hebben.

Vraag 2 Opgelost!

Gegeven dat $x,y,z$ positieve reële getallen zijn die voldoen aan $xyz=32$, vind de minimumwaarde van
$$x^2+4xy+4y^2+2z^2.$$

Vraag 3

Vind twee natuurlijke getallen $a$ en $b$ zodat
$$(\sqrt[3]a+\sqrt[3]b-1)^2=49+20\sqrt[3]6.$$

Vraag 4

(a) Vind een verzameling $A$ van tien natuurlijke getallen zodat geen zes verschillende elementen van $A$ een som hebben die deelbaar is door 6.
(b) Is het mogelijke om zo'n verzameling te vinden als tien vervangen wordt door elf?