maximum

Met de multiplicatormethode van Lagrange.

Te extremeren functie: $f(x,y,z) = x^2+4*x*y+4*y^2+2*z^2$

Nevenvoorwaarde: $g(x,y,z) = x*y*z-32$

We construeren de hulpfunctie F:

$F(x,y,z) = f(x,y,z) + \lambda*g(x,y,z)$

$F(x,y,z) = x^2+4*x*y+4*y^2+2*z^2 + \lambda*(x*y*z-32)$

$dF/dx = 2*x+4*y+\lambda*y*z = 0$

$dF/dy = 4*x+8*y+\lambda*x*z = 0$

$dF/dz = 4*z + \lambda*x*y = 0$

Stelsel heeft als enige oplossing (voor $x,y,z > 0$): $(4,2,4)$

$f(4,2,4) = 96$

*****
Merk op dat we uit de eerste $2$ vergelijkingen halen door $\lambda \not=0$ te stellen, dat $2y=x$ na de eerste vgl. $*2$ te doen en gelijk te stellen.
Vervolgens kan men met AM-GM zien dat $f(x,y,z)=8y^2+8y^2+2z^2 \ge 3*32$