BrMO 2 1996

Vraag 1

Bepaal alle natuurlijke getallen $x,y,z$ die voldoen aan de vergelijking
$$2^x+3^y=z^2.$$

Vraag 2

De zijden $a,b,c$ en $u,v,w$ van de twee driehoeken $ABC$ en $UVW$ zijn gelinkt door de volgende vergelijkingen
$$u(v+w-u)=a^2,$$ $$v(w+u-v)=b^2,$$ $$w(u+v-w)=c^2.$$
Bewijs dat de driehoek $ABC$ scherphoekig is en druk de hoeken $U,V,W$ uit in functie van $A,B,C$.

Vraag 3

Twee cirkels $S_1$ en $S_2$ raken elkaar uitwendig in $K$. Ze raken ook een cirkel $S$ inwendig in $A_1$ en $A_2$ respectievelijk. Zij $P$ een snijpunt van $S$ met de gemeenschappelijke raaklijn aan $S_1$ en $S_2$ in $K$. De rechte $PA_1$ snijdt $S_1$ opnieuw in $B_1$ en $PA_2$ snijdt $S_2$ opnieuw in $B_2$. Bewijs dat $B_1B_2$ een gemeenschappelijke raaklijn is aan $S_1$ en $S_2$.

Vraag 4 Opgelost!

Zij $a,b,c,d$ vier positieve reële getallen zodat $a+b+c+d=12$ en $abcd=27+ab+ac+ad+bc+bd+cd.$
Vind alle mogelijke waarden voor $a,b,c,d$ die voldoen aan deze vergelijkingen.