CanMO 1983

Vraag 1 Opgelost!

Vind alle natuurlijke getallen $w,x,y,z$ die voldoen aan $w!=x!+y!+z!$.

Vraag 2

Voor ieder reëel getal $r$ noteren we met $T_r$ de transformatie van het vlak dat alle punten met coördinaten $(x,y)$ omzet in de punten met coördinaten $(2^rx,r2^rx+2^ry)$. Zij $F$ nu de familie van al deze transformaties. Vind alle krommen $y=f(x)$ waarvan de grafieken onveranderd blijven door iedere transformatie van $F$.

Vraag 3

De oppervlakte van een driehoek wordt bepaald door de lengtes van zijn zijden. Wordt het volume van een viervlak bepaald door de oppervlaktes van zijn zijvlakken?

Vraag 4 Opgelost!

Bewijs dat er voor ieder priemgetal $p$ oneindig veel natuurlijke getallen $n$ bestaan zodat $p|2^n-n$.

Vraag 5

Toon aan dat het meetkundig gemiddelde van een verzameling $S$ van $n$ getallen gelijk is aan het meetkundig gemiddelde van de meetkundige gemiddeldes van alle niet-lege deelverzamelingen van $S$.