CanMO 1980

Vraag 1 Opgelost!

Als $a679b$ een vijfcijferig getal is in basis 10 dat deelbaar is door 72, bepaal dan $a$ en $b$.

Vraag 2

De getallen van 1 tot 50 zijn op kaarten geschreven. De kaarten worden geschud en worden dan in 5 rijen van 10 kaarten gelegd met het getal naar boven. De kaarten in iedere rij worden herschikt zodat ze van links naar rechts in stijgende lijn gaan. De kaarten in iedere kolom worden herschikt zodat ze van boven naar onder in stijgende volgorde gaan. In de uiteindelijke schikking, stijgen de kaarten in iedere rij nog van links naar rechts?

Vraag 3

Een driehoek met vaste hoek $A$ en een vaste straal $r$ van de ingeschreven cirkel is gegeven. Bepaal de maximum omtrek van deze driehoek.

Vraag 4

Een gokkende student gooit een eerlijke munt op en scoort een punt voor iedere kop die hij smijt, en twee punten voor iedere munt. Bewijs dat de kans dat de student exact $n$ punten scoort $\frac13[2+(-\frac12)^n]$.

Vraag 5

Een parallellepipedum heeft de eigenschap dat alle doorsneden met vlakken evenwijdig aan een zijde $F$ dezelfde omtrek hebben als het zijvlak $F$. Bepaal of er nog andere veelvlakken zijn met deze eigenschap.