VWO 1988

Vraag 1 Opgelost!

Bewijs dat de veelterm $x^4+3x^3+6x^2+9x+12$ niet kan geschreven worden als product van twee tweedegraadsveeltermen met gehele coëfficiënten.

Vraag 2 Opgelost!

Een 3-dimensioneel kruis is gemaakt uit 7 kubussen met dezelfde zijde, 1 centrale kubus en 6 kubussen die een zijde met de centrale kubus gemeen hebben. Het kruis kan worden ingeschreven in een bol met straal 1. Wat is het volume van het kruis?

Vraag 3 Opgelost!

We noemen een ternaire streng een serie van 0,1,2'tjes achter elkaar.

We noemen een ternaire streng van lengte $n$ goed als er geen opeenvolgende 1'tjes en 2'tjes in de streng staan. Hoeveel ternaire strengen van lengte $10$ zijn goed?
Bonus: generaliseer.

Vraag 4

Zij $R$ een positief reëel getal. Als $R, 1, R+\frac12$ de zijden van een driehoek vormen, noem $\theta$ de hoek tussen $R$ en $R+\frac12$ (in radialen).

Bewijs dat $1\leq 2R\theta \leq \pi$