JEMC 2012

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Zij $ABC$ een driehoek waarbij Q een punt is die op de inwendige bissectrice van de hoek
\BAC ligt.
Cirkel $\omega_1$ is de omgeschreven cirkel van $\triangle BAQ$ en snijdt de rechte $AC$ in een punt $P$ verschillend van $A$ en $C$.

$\big ($ Cirkel $\omega_2$ is de omgeschreven cirkel van driehoek $CQP.$
De straal van $\omega_1$ is groter dan die van $\omega_2$. $\big)$


De cirkel met middelpunt $Q$ en straal $|QA|$ snijdt de cirkel $\omega_1$ in punten $A$ en $A_1$.
De cirkel met middelpunt $Q$ en straal $|QC|$ snijdt de cirkel $\omega_1$ in punten $C_1$ en $C_2$.
Bewijs dat $ \angle A_1BC_1 = \angle C_2PA.$

opmerking: hetgeen tussen haakjes dient enkel om te melden dat de snijpunten bestaan

Vraag 2 Opgelost!

Zij $S$ een verzameling van strikt natuurlijke getallen (> $0$). Voor elke $a$ en $b$ uit $ S$ geldt dat
$ggd(a, b) $ > $1$. Voor elke $a,b,c\in S$ hebben we dat $ggd(a,b, c) = 1$.
Is het mogelijk dat $S$ $2012$ elementen heeft?
Hierbij is $ggd(x,y,z)$ de grootste gemene deler van $x, y$ en $z$.

Vraag 3 Opgelost!

Bestaan er reele getallen $x,y,z$ > $0$ zodat
$x^4+y^4+z^4=13$
$x^3y^3z + y^3z^3x + z^3x^3y = 6\sqrt3$
en $x^3yz + y^3zx + z^3xy = 5\sqrt 3$ ?

Vraag 4

Zij k een natuurlijk getal.
Op het Europese SchaakKampioenschap speelde ieder paar spelers een spel tegen elkaar
waarin telkens iemand won (geen remise).
Voor elke k spelers was er een andere speler die van hen allen won.
Hierbij is het aantal deelnemers van het Kampioenschap de laagste mogelijke waarvoor dit
mogelijk is voor iedere k spelers.
Is het mogelijk om tijdens de Closing Ceremony alle deelnemers te rangschikken rond een
ronde tafel zodat iedere deelnemer naast een persoon zit waarvan hij heeft gewonnen en een
persoon waarvan hij heeft verloren?

****
Ter verduidelijking: als n het aantal deelnemers is aan de wedstrijd, bestond er geen
wedstrijd met $n - 1$ deelnemers zodat voor iedere k deelnemers zo'n winnende tegenstrever
is.

Opmerking: In grafentheorie verwoordt men dit als
"Zij G een complete, gerichte graaf zodat geldt dat voor iedere k knopen er een andere knoop bestaat waarvoor alle zijden tussen de k knopen en de externe knoop vanuit die laatste knoop vertrekken. Bovendien heeft G hierbij het laagst mogelijke aantal punten.
Bewijs dat er een Hamiltoncykel is in G."