JBaMO 2005

Vraag 1 Opgelost!

Vind alle natuurlijke getallen $x,y$ die voldoen aan de vergelijking
$$9(x^2+y^2+1)+2(3xy+2)=2005.$$

Vraag 2 Opgelost!

Zij $ABC$ een scherphoekige driehoek ingeschreven in een cirkel $k$. Het is gegeven dat de raaklijn aan de cirkel in $A$ de rechte $BC$ snijdt in het punt $P$. Zij $M$ het midden van $AP$ en $R$ het tweede snijpunt van de cirkel $k$ met de rechte $BM$. De rechte $PR$ snijdt de cirkel $k$ opnieuw in $S\neq R$. Bewijs dat $AP$ en $CS$ parallel zijn.

Vraag 3

Bewijs dat het volgende bestaat:
(a) 5 punten in het vlak zodat onder alle driehoeken gevormd door deze punten er 8 rechthoekige bijzitten.
(b) 64 punten in het vlak zodat onder alle driehoeken gevormd door deze punten er minimum 2005 rechthoekige bijzitten.

Vraag 4

Vind alle getallen van drie cijfers $x=\overline{abc}$ zodat
$$\overline{abc}=abc(a+b+c),$$
waar $\overline{abc}$ voor de decimale representatie staat van $x$.