meetkunde

Opgave - JBaMO 2005 vraag 2

Zij $ABC$ een scherphoekige driehoek ingeschreven in een cirkel $k$. Het is gegeven dat de raaklijn aan de cirkel in $A$ de rechte $BC$ snijdt in het punt $P$. Zij $M$ het midden van $AP$ en $R$ het tweede snijpunt van de cirkel $k$ met de rechte $BM$. De rechte $PR$ snijdt de cirkel $k$ opnieuw in $S\neq R$. Bewijs dat $AP$ en $CS$ parallel zijn.

Oplossing

De macht van $M$ tegenover $k$ geeft: $|MA|^2=|MR| \cdot |MB|$. Aangezien $M$ gekozen is als het midden van $AP$ geldt $|AM|=|PM|$ en dus $|MP|^2=|MR| \cdot |MB|$, waaruit blijkt dat $MP$ raakt aan de omcirkel van $\triangle PRB$. Oftewel $\angle MPR = \angle PBR$, aangezien de ene hoek de hoek is op de koorde $RP$ en de ander de hoek tussen die koorde en de raaklijn. Verder geven hoeken op dezelfde koorde in $k$ $\angle RSC = \angle RBC$. Dus $\angle RSC = \angle RPM$ en door Z-hoeken zijn $AP$ en $CS$ evenwijdig. $\Box$