BaMO 2004

Vraag 1

De rij $(a_n)_{n\geq0}$ voldoet aan de betrekking
$$a_{m+n}+a_{m-n}-m+n-1=\frac12(a_{2m}+a_{2n})$$
voor alle $m,n\in\mathbb N$ en $m\geq n$. Als $a_1=3$, vind dan $a_{2004}$.

Vraag 2

Los op in priemgetallen: $x^y-y^x=xy^2-19$.

Vraag 3

Zij $O$ een inwendig punt van de scherphoekige driehoek $ABC$. De cirkels met als centrum de middens van de zijden van de driehoek die door $O$ gaan snijden een tweede keer in de punten $K,L,M$ verschillend van $O$. Bewijs dat $O$ het centrum is van de ingeschreven cirkel van de driehoek $KLM$ als en slechts als $O$ het centrum van de omgeschreven cirkel van driehoek $ABC$ is.

Vraag 4

Het vlak is verdeeld in gebieden aan de hand van een eindig aantal rechten, waarvan er geen drie concurrent zijn. Twee gebieden worden buren genoemd als de intersectie van hun grenzen een lijnstuk, halfrechte of rechte is (een punt is geen lijnstuk). Aan ieder gebied wordt een geheel getal toegekend zodanig dat:
(i) het product van de getallen van elke twee buren is kleiner dan hun som;
(ii) voor ieder van de gegeven rechten, en ieder halfvlak bepaald door die rechte, is de som van al de getallen van de gebieden die in dit halfvlak liggen gelijk aan nul.
Bewijs dat dit mogelijk is als en slechts als niet alle lijnen parallel zijn.