BaMO 2001

Vraag 1

Zij $n$ een natuurlijk getal. Toon aan dat, als $a$ en $b$ natuurlijke getallen zijn groter dan 1 zodat $2^n-1=ab$, dat dan $ab-(a-b)-1$ een getal van de vorm $k2^{2m}$ met $k$ oneven en $m\in\mathbb N$.

Vraag 2

In een vijfhoek zijn alle binnenhoeken congruent en alle zijden hebben een rationale lengte. Toon aan dat de vijfhoek regelmatig is.

Vraag 3 Opgelost!

Zij $a,b,c$ positieve reële getallen zodat $a+b+c\geq abc$. Bewijs dat
$$a^2+b^2+c^2\geq\sqrt3abc.$$

Vraag 4 Opgelost!

Een kubus van $3\times3\times3$ wordt verdeeld in 27 eenheidscellen. Eén van deze cellen is leeg, de andere worden opgevuld met eenheidskubussen die we willekeurig labellen van 1 tot en met 26. Een legale beweging bestaat erin om een eenheidskubus te verplaatsen naar een lege naburige cel. Bestaat er een eindige rij van legale bewegingen met als resultaat dat alle eenheiskubussen met label $k$ en $27-k$ van positie zullen gewisseld hebben voor alle $k=1,2,\ldots,13$?