BaMO 1994

Vraag 1

Beschouw $\angle XOY$ en een punt $P$ binnen deze hoek. Construeer de rechte $d$ die door $P$ gaat met passer en liniaal zodat de oppervlakte van $OAB$ gelijk is aan $OP^2$, waar $A$ en $B$ de snijpunten zijn van $OX$ en $OY$ met $d$.

Vraag 2

Bewijs dat de veelterm $x^4-1993x^3+(1993+m)x^2-11x+m$ maximum één gehele wortel heeft, met $m$ een natuurlijk getal.

Vraag 3

Zij $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ een willekeurige permutatie van de verzameling $\{1,...,n\}$, met $n$ een vast natuurlijk getal. Vind de maximumwaarde van de som
$$|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+\cdots+|a_{n-1}-a_n|.$$

Vraag 4

Vind het kleinste natuurlijk getal $n$ groter dan vier zodat er een verzameling van $n$ personen bestaat die aan volgende eigenschappen voldoet:

• iedere twee bevriende personen hebben geen gemeenschappelijke vrienden,
• iedere twee niet-bevriende personen hebben precies twee gemeenschappelijke vrienden.

(vriendschap is een symmetrische relatie)

[/]