BaMO 1991

Vraag 1

De omgeschreven cirkel van de scherphoekige driehoek $ABC$ heeft midden $O$. $M$ ligt op de kleinere boog $AB$. De rechte door $M$ loodrecht op $OA$ snijdt $AB$ in $K$ en $AC$ in $L$. De rechte door $M$ loodrecht op $OB$ snijdt $AB$ in $N$ en $BC$ in $P$. Als $MN=KL$, vind dan $\angle MLP$ in termen van de hoeken $A,B,C$.

Vraag 2

Vind een oneindige verzameling van niet-congruente driehoeken, waarvan elke driehoek een natuurlijk getal als oppervlakte heeft, zijden die coprieme gehele getallen zijn, maar geen enkele hoogte een natuurlijk getal is.

Vraag 3

Een regelmatige zeshoek met oppervlakte $H$ heeft zijn hoekpunten op de omtrek van een convexe veelhoek met oppervlakte $A$. Toon aan dat $2A\leq3H$ en vind wanneer de gelijkheid optreedt.

Vraag 4 Opgelost!

Bewijs dat er geen bijectie $f\{1,2,3,\ldots\}\rightarrow\{0,1,2,\ldots\}$ bestaat die voldoet aan $f(mn)=f(m)+f(n)+3f(m)f(n)$ voor alle $m,n\in\{1,2,3,\ldots\}$.