CGMO 2015

Dag 1

Vraag 1

Vind alle gehele getallen $k$ zodat er oneindig veel natuurlijke getallen $n$ bestaan zodat $n+k$ geen deler is van ${2n \choose n}.$

Dag 2

Vraag 2

Gegeven $30$ studenten zodat elke student maximum $5$ vrienden heeft en tussen elke $5$ studenten er minstens twee zijn die geen vriend van elkaar zijn.
Vind het maximale aantal $k$ zodat je zeker $k$ studenten kunt vinden waartussen geen enkele twee vrienden van elkaar zijn.

Vraag 3

Zij $a_1, a_2, \ldots$ een rij van natuurlijke getallen (nul inclusief) zodat geldt dat voor elke 2 natuurlijke getallen $m,n$ geldt dat
\[ \sum_{i=1}^{2m} a_{in} \leq m.\]
Bewijs dat er getallen $k$ en $d$ bestaan zodat \[ \sum_{i=1}^{2k} a_{id} = k-2014.\]