IMC 2010

Dag 1

Vraag 1

Zij $0 < a < b$. Bewijs dat
$\int_a^b (x^2+1)e^{-x^2} dx \geq e^{-a^2} - e^{-b^2}$

Vraag 2

Vind de waarde van $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(4k+1)(4k+2)(4k+3)(4k+4)} = \frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4} + \frac{1}{5\cdot6\cdot7\cdot8} + ...$

Vraag 5

Zij $a$, $b$, $c$ reëel zijn in het interval $[-1,1]$ zodat $1+2abc \ge a^2+b^2+c^2$.
Bewijs dat
$1+2(abc)^n \ge a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}$ voor alle natuurlijke getallen $n$ en bepaal alle gevallen waarin er gelijkheid geldt.

Dag 2

Vraag 2

Zij $a_0,a_1,\dots,a_n \in \mathbb{R^+}$ zodat $a_{k+1}-a_k \geq 1$ $\forall k \in \{0,1,\dots,n-1\}.$ Bewijs dat
$1+\frac{1}{a_0} \left( 1+\frac1{a_1-a_0}\right)\cdots\left(1+\frac1{a_n-a_0}\right)\leq \left(1+\frac1{a_0}\right) \left(1+\frac1{a_1}\right)\cdots \left(1+\frac1{a_n}\right)$