reeks 1 2015

Dag 1

Vraag 1

We hebben een rechthoekige tafel met zijden 8 en 10 die we vlak kunnen roteren in een
vierkant kamertje. Hoe lang moet de zijde van het kamertje minimaal zijn?

Vraag 2 Opgelost!

Wat is het grootste natuurlijke getal zodat elke opeenvolging van cijfers die in dat getal
voorkomt, een priemgetal vormt? (Bv. 23 voldoet aan de voorwaarde, want 2, 3 en 23
zijn priem. Het getal 253 voldoet niet, want 25 is niet priem.)

Vraag 3

Bewijs dat voor elke convexe veelhoek met oppervlak 1 er een rechthoek met oppervlakte
2 bestaat, zodat de veelhoek in deze rechthoek past.

Vraag 6

Men kan bewijzen: “Er bestaan matrices \[A, B, C \in \mathbb Z^{
m×m}\] (d.w.z. m-bij-m-matrices
met gehele matrixelementen) zodat $ABC +BCA+CAB = nI_m$.” We vragen hier naar
enkele stappen die voorkomen in het bewijs:
a. Geef voor elke $m$ voorbeelden van $A, B, C$ indien $3 | n$ zodat de uitspraak waar is.
b. Geef voor elke $n$ een voorbeeld voor A, B, C indien $m = 3$ zodat de uitspraak waar
is.
c. Bewijs dat de uitspraak impliceert dat $3|m · n$.