IMOSL 1988

Dag 1

Vraag 1

$2$ concentrische cirkels met stralen $R,r$ waarbij $R>r$ hebben middelpunt $O.$
$P$ is een vast punt op de kleine cirkel en $A$ varieert op die cirkel.
De punten $B,C$ worden geplaatst op de grote cirkel zodat $B,P,C$ collineair zijn en $AP \perp BC.$
Wat is de waarde van $|BC|^2+|AB|^2+|AC|^2?$
Wat is de meetkundige plaats van de mogelijke middens van $[AC]?$

Vraag 4

Op een $n*n$-bord worden alle getallen uit $\{1,2,\cdots,n^2\}$ geplaatst op een apart vakje. Bewijs dat er $2$ vakjes zijn die met een zijde aan elkaar grenzen zodat het verschil tussen hun waarden $\ge n$ is.

Vraag 6

Bewijs dat als $a,b,\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ natuurlijk getal is, is dat derde getal een volkomen kwadraat en bewijs dat er oneindig veel $a,b$ voldoen.