IMO 2023

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Bepaal alle samengestelde gehele getallen $n>1$ die voldoen aan de volgende eigenschap: als $d_1$, $d_2$, $\ldots$, $d_k$ alle positieve delers van $n$ zijn met $1 = d_1 < d_2 < \cdots < d_k = n$, dan deelt $d_i$ $d_{i+1} + d_{i+2}$ voor elk $1 \leq i \leq k - 2$.

Vraag 2

Laat $ABC$ een scherphoekige driehoek zijn met $AB < AC$. Laat $\Omega$ de omgeschreven cirkel van $ABC$ zijn. Laat $S$ het middelpunt zijn van de boog $CB$ van $\Omega$ die $A$ bevat. De loodlijn vanuit $A$ naar $BC$ snijdt $BS$ in $D$ en snijdt $\Omega$ opnieuw in $E \neq A$. De lijn door $D$ parallel aan $BC$ snijdt lijn $BE$ in $L$. Noem de omgeschreven cirkel van driehoek $BDL$ $\omega$. Laat $\omega$ $\Omega$ opnieuw snijden in $P \neq B$. Bewijs dat de lijn die $\omega$ raakt in $P$ lijn $BS$ snijdt op de inwendige bissectrice van $\angle BAC$.

Vraag 3

Voor elk geheel getal $k \geq 2$, bepaal alle oneindige reeksen van positieve gehele getallen $a_1, a_2, \ldots$ waarvoor er een polynoom $P$ bestaat van de vorm\[ P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\dots + c_1 x+c_0, \]waar $c_0, c_1, \dots, c_{k-1}$ niet-negatieve gehele getallen zijn, zodanig dat\[ P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k} \]voor elk geheel getal $n \geq 1$.

Dag 2

Vraag 1

Laat $x_1,x_2,\dots,x_{2023}$ paarsgewijs verschillende positieve reële getallen zijn zodat
\[a_n=\sqrt{(x_1+x_2+\dots+x_n)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots+\frac{1}{x_n}\right)}\]
een geheel getal is voor elk $n=1,2,\dots,2023.$ Bewijs dat $a_{2023} \ge 3034.$

Vraag 3

Laat $ABC$ een gelijkzijdige driehoek zijn. Laat $A_1,B_1,C_1$ inwendige punten van $ABC$ zijn zodanig dat $BA_1=A_1C$, $CB_1=B_1A$, $AC_1=C_1B$, en
$$\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ$$
Laat $BC_1$ en $CB_1$ elkaar snijden in $A_2,$ laat $CA_1$ en $AC_1$ elkaar snijden in $B_2,$ en laat $AB_1$ en $BA_1$ elkaar snijden in $C_2.$
Bewijs dat als driehoek $A_1B_1C_1$ ongelijkzijdig is, dan de drie omgeschreven cirkels van de driehoeken $AA_1A_2, BB_1B_2$ en $CC_1C_2$ allemaal door twee gemeenschappelijke punten gaan.

(Opmerking: een ongelijkzijdige driehoek is een driehoek waarin geen twee zijden dezelfde lengte hebben.)