IMO 2009

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Zij $n \in \mathbb{N}$ en $a_1,a_2,\cdots,a_k$ $k\ge 2$ verschillende getallen uit $\{1,2\cdots,n\}$ zijn zodat $n|a_i(a_{i+1}-1)$ $\forall i \in \{1,2,\cdots, k-1\}$ .

Bewijs dat $n \not|a_k (a_1 -1).$

Vraag 2 Opgelost!

Zij $ ABC$ een driehoek en $ O$ het middelpunt van de omgeschreven cirkel.
De punten $ P$ en $ Q$ zijn inwendige punten van de zijden $ CA$ en $ AB$ respectivelijk.
Laat $ K,L$ en $ M$ de middens zijn van respectievelijk de zijden $ BP,CQ$ en $ PQ$ en zij $ \Gamma$ de cirkel door $ K,L$ en $ M$. Veronderstel dat de lijn $ PQ$ raakt aan de cirkel $ \Gamma$. Bewijs dat $ |OP| = |OQ|.$

Vraag 3

Zij $ s_1,s_2,s_3, \ldots$ een strikt stijgende rij van natuurlijke getallen zodat de subrijen $$ s_{s_1},s_{s_2},s_{s_3},\ldots$$ en $$ s_{s_1 + 1},s_{s_2 + 1},s_{s_3 + 1},\ldots$$ beiden rekenkundige rijen zijn. Bewijs dat de rij$$ s_1,s_2,s_3, \ldots$$ zelf een rekenkundige rij is.

Dag 2

Vraag 1 Opgelost!

Zij $ ABC$ een driehoek met $ |AB |=| AC|$ .
De binnenbissectrice van $ \angle CAB$ en $ \angle ABC$ snijden de zijden $ B C$ en $ C A$ recpectievelijk in $ D$ en $ E$ .
Zij $ K$ het middelpunt van de ingeschreven cirkel van $\triangle ADC$.
Veronderstel dat $ \angle B E K = 45^\circ$ .
Bepaal alle mogelijke waarden van $ \angle C AB$ .

Vraag 2 Opgelost!

Vind alle functies $f$:$ \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, zodat $\forall a, b \in \mathbb{N} $ geldt dat er een niet-ontaarde driehoek bestaat met zijdelengten
$ a, f(b) \text{ en } f(b + f(a) - 1).$

Vraag 3

Zij $n$ een natuurlijk getal en zij $a_1,a_2,\cdots, a_n$ verschillende natuurlijke getallen zijn. Er zijn $n-1$ getallen tussen $1$ en $\sum_{i=1}^{i=n}a_i -1$ gekozen in de verzameling $M$ waar mensen hem willen vangen.
De sprinkhaan start in het punt $0$ en maakt $n$ sprongen met de lengten $a_1$ tot $a_n$, bewijs dat hij die volgorde kan kiezen zodat hij nergens wordt gevangen in een punt van $M.$