Home › Archief › Internationale Olympiades › IMO › 2009 › de Peter Vandendriessche-vraag

de Peter Vandendriessche-vraag

Tags:

Opgave - IMO 2009 dag 2 vraag 1

Zij $ ABC$ een driehoek met $ |AB |=| AC|$ .
De binnenbissectrice van $ \angle CAB$ en $ \angle ABC$ snijden de zijden $ B C$ en $ C A$ recpectievelijk in $ D$ en $ E$ .
Zij $ K$ het middelpunt van de ingeschreven cirkel van $\triangle ADC$.
Veronderstel dat $ \angle B E K = 45^\circ$ .
Bepaal alle mogelijke waarden van $ \angle C AB$ .

Oplossing

Ingediend door Tijs B.

Ofwel $90°$ ofwel $60°$.

Zij $E'$ het spiegelbeeld van $E$ rond $CK$. $CK$ is de binnenbissectrice van $\widehat{BCA}$, dus zal $E' \in BC$. Stel dat $\widehat{BEK}=45°$. Stel $I$ het incentrum van $\Delta ABC$. Dan is $\widehat{IEK}=45°=\widehat{IE'K}$. Stel nu dat $E'\neq D$. (1) Dan volgt uit het feit dat $E'$ en $D$ aan dezelfde kant liggen ten opzichte van $CK$ en dat $DK$ de binnenbissectrice is van $\widehat{ADC}=90°$ ($|AB|=|AC|$) dat $\widehat{IE'K}=\widehat{IDK}=45°$, dus $IKE'D$ is een koordenvierhoek. Omdat $\widehat{IDE'}=90°$, is $IE'$ een diameter van de omgeschreven cirkel en moet dus sowieso $\widehat{IKE'}=90°$. Maar $\widehat{IKE'}=\widehat{IKE}$, dus $\widehat{IKE}=90°$. Omdat $\widehat{BEK}=45°$, volgt dat $\widehat{EIC}=45°$. Maar $\widehat{EIC}=\widehat{IBC}+\widehat{ICB}$ (buitenhoek)
$=\frac 12 (\widehat{ACB}+\widehat{ABC})=\widehat{ABC}$ ($|AB|=|AC|$, def bissectrice). Dus $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45°$, dus $\widehat{BAC}=90°$.

Stel nu dat $D=E'$ (2). Er volgt dat $|CD|=|CE|$. We weten dat $|CD|=\frac 12 |BC|$ omdat $|AB|=|AC|$. Wegens de bissectricestelling geldt dus dat $\frac{|BC|}{|CE|}=\frac{|BA|}{|AE|}=2$. Omdat $|AB|=|AC|$ volgt dat $|AE|=|EC|=|DC|$. Dus $|AC|=|BC|$, de driehoek is gelijkzijdig en $\widehat{BAC}=60°$.

Nu bewijzen we dat zowel $60°$ als $90°$ voldoen. Bij $60°$ kunnen we wegens de symmetrie van een gelijkzijdige driehoek besluiten dat de bissectrices van $\widehat{IEC}$ en $\widehat{ADC}$ elkaar snijden op $IC$ en bijgevolg is $\widehat{BEK}=45°$. Bij $90°$ tekenen we de loodlijn uit $E$ op $CK$. We weten dat $E'$ dan op deze loodlijn ligt. Laat $K'$ het snijpunt van deze loodlijn mat $CK$ zijn. Een simpele angle-chasing geeft nu dat $\widehat{EIK}=45°$. Bijgevolg geldt dat $\widehat{IEK'}=45°$. Omdat $\widehat{IK'E'}+\widehat{ADE'}=2*90°=180°$, zal $\widehat{IDK'}=\widehat{IE'K'}=\widehat{IEK'}=45°$, dus $K=K'$ en $\widehat{BEK}=45°$.

De enige oplossingen zijn dus $60°$ en $90°$. Q.E.D.