IMO 2008

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Zij $H$ het hoogtepunt van een scherphoekige driehoek $ABC$. De cirkel $\Gamma_A$ met als middelpunt het midden van $BC$, gaande door $H$, snijdt $BC$ in twee punten die we $A_1$ en $A_2$ noemen. Analoog benoemen we $B_1,B_2,C_1$ en $C_2$. Bewijs dat de zes punten $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1$ en $C_2$ op een cirkel liggen.

Vraag 2 Opgelost!

(a) Bewijs dat voor alle reële getallen $x \not =1, y \not= 1$ en $z \not= 1$ die voldoen aan $xyz = 1$
de volgende ongelijkheid geldt:
$$ \frac{x^{2}}{\left(x-1\right)^{2}}+\frac{y^{2}}{\left(y-1\right)^{2}}+\frac{z^{2}}{\left(z-1\right)^{2}}\geq 1 $$

(b) Bewijs dat er gelijkheid geldt voor oneindig veel drietallen rationale getallen $x \not =1, y \not= 1$ en $z \not= 1$ die voldoen aan $xyz = 1$

Vraag 3

Bewijs dat er oneindig veel natuurlijke getallen $n$ bestaan zodat $n^2+1$ een priemfactor groter dan $2n+\sqrt{2n}$ heeft.

Dag 2

Vraag 1 Opgelost!

Zij $ f$:$ (0,\infty)\mapsto (0,\infty) $ een functie waarvoor

$$\frac{\left( f(w)\right)^2+\left( f(x)\right)^2}{f(y^2)+f(z^2) }=\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2}$$ geldt voor alle reele $ w,x,y,z$ waarvoor $wx=yz$.

Vraag 2 Opgelost!

$n,k$ zijn natuurlijke getallen zodat $k\ge n$ en $2|k-n.$
We hebben $2n$ lampen geordend van $1$ tot $2n.$
Elke lamp kan aan of uit zijn. In het begin zijn alle
lampen uit. We bekijken rijtjes van handelingen: bij elke handeling wordt ofwel een lamp die aan is
uit gedaan, ofwel een lamp die uit is aan gedaan.
Het aantal manieren bestaande uit $k$ stappen om alle lampen van $1$ tot $n$ te doen branden en de andere gedoofd te laten, noemen we $N.$
( de lampen van $n+1$ tot $2n$ mogen aan zijn geweest, maar zijn bij het einde uit)
Het aantal manieren die behoren tot $N$, maar waarbij de lampen $n+1$ tot $2n$ allen gedurende de $k$ stappen gedoofd bleven, noemen we $M.$
Bepaal de verhouding $\frac{N}{M}.$

Vraag 3

$ABCD$ is een convexe vierhoek met $\Gamma_1$ en $\Gamma_2$ de incirkels van $\triangle{ABC}$ en $\triangle{ADC}$ respectievelijk.

Stel dat er een cirkel $\Gamma$ is die raakt aan de (verlengde) zijden aan de halfrechte $BC$ voorbij $C$,aan de halfrechte $BA$ voorbij $A$ en bovendien aan de lijnen (rechten) $AD,CD.$

Bewijs dat de gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen van $\Gamma_1$ en $\Gamma_2$ elkaar snijden op $\Gamma$