IMO 1961

Dag 1

Vraag 2 Opgelost!

Van een driehoek zijn de lengten van de zijden $a, b$ en $c$ en is de oppervlakte $O. $
Bewijs dat $a^2 + b^2 + c^2\ge 4O \sqrt{3} $
Wanneer treedt er gelijkheid op?

***
opm.: strengere ongelijkheid is de Hadwiger-Finsler-ongelijkheid, die bewijst dat
$a^2 + b^2 + c^2 \ge 4O \sqrt{3} + (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2.$

Dag 2

Vraag 1 Opgelost!

We hebben een driehoek $ P_{1}P_{2}P_{3}$ en een inwendig punt $P$ zodat $ P_{1}P, P_{2}P, P_{3}P $ de overstaande lijnen snijden in $ Q_{1}, Q_{2}, Q_{3} .$
Bewijs dat onder de verhoudingen $\frac{P_{1}P}{PQ_{1}},\frac{P_{2}P}{PQ_{2}},\frac{P_{3}P}{PQ_{3}} $ er zowel een waarde $\le 2$ als $\ge 2$ is.