mooie meetkunde (elementair)
Opgave - IMO 1961 dag 2 vraag 1
We hebben een driehoek $ P_{1}P_{2}P_{3}$ en een inwendig punt $P$ zodat $ P_{1}P, P_{2}P, P_{3}P $ de overstaande lijnen snijden in $ Q_{1}, Q_{2}, Q_{3} .$
Bewijs dat onder de verhoudingen $\frac{P_{1}P}{PQ_{1}},\frac{P_{2}P}{PQ_{2}},\frac{P_{3}P}{PQ_{3}} $ er zowel een waarde $\le 2$ als $\ge 2$ is.
- login om te reageren
Oplossing
Bekijk de volgende tekening:
$G$ is het zwaartepunt en de rode, blauwe en groene lijnen zijn evenwijdigen aan de zijden.
$\frac{PP_1}{PQ_1}>2$ betekent dat $P$ onder de rode lijn ligt, en analoog voor de andere verhoudingen.
Als ze allemaal strikt groter dan $2$ zouden zijn, dan ligt $P$ dus onder de rode, links van de groene en rechts van de blauwe lijn. Maar dat gebied is helaas leeg, zoiets is dus onmogelijk.
Als ze allemaal strikt kleiner dan $2$ zouden zijn, dan ligt $P$ boven de rode, rechts van de groene en links van de blauwe lijn, opnieuw een onbestaand gebied.