APMO 2017

Dag 1

Vraag 1

We noemen een $5$tal $(a,b,c,d,e)$ goed als $a-b+c-d+e=29$.
Er worden $2017$ getallen $n_1, n_2, . . . , n_{2017}$ op een cirkel geplaatst, zodat elke $5$ opeenvolgende getallen (eventueel na permutatie) in een goed $5$tal kunnen worden gestoken.
Bepaal alle mogelijkheden voor de $2017$ getallen $n_i$.

Vraag 5

Zij $n \in \mathbb N$.
We noemen twee $n$-tallen gehele getallen $(a_1,\cdots{}, a_n)$ en $(b_1,\cdots{}, b_n)$ een hemels paar als $$|a_1b_1+\cdots{}+a_nb_n|\le 1.$$

Vind het maximale aantal verschillende $n$-tallen gehele getallen, zodat elke 2 $n$-tallen een hemels paar vormen.