APMO 2016

Dag 1

Vraag 2

Een natuurlijk getal wordt fancy genoemd, als het te schrijven valt als $$2^{a_1}+2^{a_2}+ \cdots+ 2^{a_{100}},$$ waarbij $a_1,a_2, \cdots, a_{100}$ natuurlijke getallen ($\ge 0$) zijn, die niet noodzakelijk verschillend zijn.

Vind het kleinste natuurlijk getal $n>0$ waarvoor geen enkel veelvoud fancy is.

Vraag 5

Vind alle functies $f \colon \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ zodat $$(z + 1)f(x + y) = f(xf(z) + y) + f(yf(z) + x),$$ geldt voor alle $x,y,z \in \mathbb{R}^+$.