APMO 2013

Dag 1

Vraag 1

Zij $ABC$ een scherphoekige driehoek met hoogtelijnen$AD$, $BE$, and $CF$, en zij $O$ het omcentrum (middelpunt van omgeschreven cirkel). Bewijs dat de lijnstukken $OA$, $OF$, $OB$, $OD$, $OC$, $OE$ de driehoek $ABC$ verdelen in $3$ paren driehoeken met gelijke oppervlakte.

Vraag 2

Vind alle natuurlijke getallen $n$ waarvoor geldt dat
$\frac{n^2+1}{\lfloor\sqrt{n}\rfloor^2+2}$ geheel is.