Home › Archief › Internationale Olympiades › Balkanlanden › JBaMO › 1997 › 9 punten in een vierkant

9 punten in een vierkant

Tags:

Opgave - JBaMO 1997 vraag 1

Toon aan dat we uit 9 willekeurige punten binnen een vierkant met zijde 1 er altijd 3 kunnen kiezen die een driehoek vormen met oppervlakte kleiner dan $\frac18$.

Oplossing

Ingediend door Psycho

We snijden het vierkant in vier kleinere vierkantjes met zijde 1/2. Wegens het duivenhokprincipe is er zeker één vierkantje waar er drie punten in liggen. De maximum basis van de driehoek gevormd door die punten is 1/2, de maximum hoogte 1/2, en dus de maximum oppervlakte 1/8. De ongelijkheid is strikt aangezien de punten niet op de rand van het grote vierkant mogen liggen en zo de basis/hoogte van de gevormde driehoek strikt kleiner is dan 1/2.