Deellijn in vijfhoek
Opgave - VWO 2020 dag 1 vraag 3
Stel $ABCDE$ een regelmatige vijfhoek met midden $M$. Stel $P$ een inwendig punt van $[DM]$. De omcirkel van $\Delta ABP$ snijdt $[AE]$ in $Q$ (met $Q \neq A$). De loodlijn uit $P$ op $CD$ snijdt $[AE]$ in $S$. Toon aan dat $PS$ de bissectrice is van $\widehat{APQ}$.
- login om te reageren
Oplossing
In een regelmatige vijfhoek is elke hoek $108°$. Wegens symmetrie is $\angle CDM = 54°$. Neem nu $X$ de loodrechte projectie van $P$ op $CD$. Dan is $\angle DPX = 36°$. Overstaande hoeken zijn gelijk, dus $\angle MPS = 36°$. Wegens symmetrie is $\angle APM = \angle BPM$ en $\angle ABP = \angle BAP$, waardoor $\angle ABP = 90° - \angle APM$ (want de som van de hoeken in een driehoek is $180°$ en $\angle APB = 2\angle APM$).
Wegens de gegevens is $ABPQ$ cyclisch, waardoor $\angle ABP$ en $\angle AQP$ supplementair zijn, dus $\angle AQP = 180° - \angle ABP = 90° + \angle APM$. Dan is $\angle PQE = 180° - (90° + \angle APM) = 90° - \angle APM$. Wegens al vermelde redenen is $\angle QED = 108°$ en $\angle MDE = 54°$. De som van de hoeken in een vierhoek is $360°$, waardoor $\angle QPD = 360° - \angle PQE -\angle QED -\angle PDE = 108° + \angle APM$. Nu vinden we dat $\angle SPQ = 180° - \angle QPD - \angle MPS = 180° - (108° + \angle APM) - 36° = 36° -\angle APM$.
We vinden echter ook dat $\angle APS = \angle MPS - \angle MPA = 36° - \angle APM$, dus $\angle SPQ = \angle APS$, waardoor $PS$ de deellijn is van $\angle APQ$.