vaak G1
Opgave - IMO 2018 dag 1 vraag 1
Zij $\Gamma$ de omgeschreven cirkel van een scherphoekige driehoek $ABC$.
De punten $D$ en $E$ liggen respectievelijk op de lijnstukken $AB$ en $AC$ zodanig dat $|AD| = |AE|$.
De middelloodlijn van $BD$ snijdt de boog $AB$ van $\Gamma$ die $C$ niet bevat in het punt $F$.
De middelloodlijn van $CE$ snijdt de boog $AC$ van $\Gamma$ die $B$ niet bevat in het punt $G$.
Bewijs dat de lijnen $DE$ en $FG$ evenwijdig zijn (of samenvallen).
- login om te reageren
Oplossing
Laat $X$ de tweede snijpunt van $\overline{GE}$ en $\Gamma$ zijn, en $Z$ de tweede snijpunt van $\overline{FD}$ en $\Gamma$ zijn
(zodat $X \neq G$, en $Z \neq F$) en $Y = \overline{FZ} \cap \overline{GX}$.
Laat ook $\delta = \angle FBA$ en $\epsilon = \angle ACG$.
Dan weten we dat $\angle GEC = \angle GCE = \angle GCA = \epsilon$, dus $\angle XEA = \epsilon$. Maar ook $\angle AXE = \angle AXG = \angle ACG = \epsilon$, dus $|AX| = |AE| = |AD|$.
Analoog krijgen we $\angle ADZ = \delta$ en $\angle AZD = \delta$, dus $|AX| = |AD| = |AE| = |AZ|$.
Dit geeft dus dat $X, D, E, Z$ zijn cyclisch met middelpunt $A$.
Dan $$\angle ZDE = \angle ZXE = \angle ZXG = \angle ZFG$$
en dit geeft wat we wilden bewijzen.