Home › Archief › Internationale Olympiades › BxMO › 2017 › zinvolle punten op een tekening

zinvolle punten op een tekening

Tags:

Opgave - BxMO 2017 dag 1 vraag 3

Zij gegeven een convexe vierhoek $ABCD$ met $\angle B = \angle C$ en $\angle D = 90^\circ$. Veronderstel dat $|AB| = 2|CD|$. Bewijs dat de bissectrice van $\angle ACB$ loodrecht op $CD$ staat.

Oplossing

Ingediend door Louis

Als $\angle B$ niet stomp is dan is de vierhoek ofwel niet convex of is $|AB|\leq|CD|$. Dus is $\angle B = \angle C > 90^{\circ}$.

Noem $E$ de spiegeling van $C$ tegenover $AD$. hierdoor is driehoek $EAC$ gelijkbenig met tophoek $A$ en dus is $\angle AEC = \angle ACE$.

Dan is door $ZHZ$ driehoek $ABC$ congruent met driehoek $ECB$ en dus is vierhoek $ABCE$ een gelijkbenig trapezium want $|BC| = |CB|$, $\angle BAC = \angle BEC$ en $|BA|=|2CD|=|CE|$.

Noem $F$ het snijpunt $AB$ en $CD$. Dan is $\angle FAE =\angle AEF$ en dus is driehoek $AFE$ gelijkbenig met tophoek $F$. Omdat $|BA|=|CE|$ is $BC$ evenwijdig met $AE$ en dus is $\angle FCB = \angle FEA$.

Nu is de bissectrice van $ACB$ ook de bissectrice van $ECF$ want $\angle ACE = \angle AEC = \angle FEA = \angle FCB$.

Hoek $\angle ECF = 180^{\circ}$ hierdoor staat de bissectrice loodrecht op $CE$ en dus $CD$.

Q.E.D.

Ingediend door Luka

5 minuten trig bash

Noem $\angle C = \alpha + 2x$ met $\alpha = \angle DCA$ en $2x = \angle ACB$

We hebben dat $\sin(90 - \alpha) = \frac{|CD|}{|AC|}$ uit $\triangle ACD$.
We hebben uit sinusregel in $\triangle ABC$ dat

$\frac{|AB|}{\sin(2x)} = \frac{|AC|}{\sin(\alpha + 2x)}$
hierdoor hebben we, aangezien $|AB| = 2 \cdot |CD|$, dat

$2 \cdot \sin(90 - \alpha) \cdot \sin(\alpha + 2x) = \sin(2x)$
$\iff -(-2 \cdot \sin(90 - \alpha) \cdot \sin(\alpha + 2x))= \sin(2x)$

Merk nu op dat er geldt dat $\cos(A) - \cos(B) = -2 \sin(\frac{A+B}{2}) \sin(\frac{A-B}{2})$
op deze manier vinden we $A = 90+2x$ en $B = 2(\alpha + x) - 90$
We krijgen dus
$\cos(2(\alpha+x) - 90) - \cos(90+2x) = \sin(2x)$
Nu geldt er dat $\cos(90+a) = -\sin(a)$ dus krijgen we
$\cos(2(\alpha+x) - 90) = 0$
Aangezien $\alpha + 2x < 180$ is ook $0 <\alpha + x < 180$ en hebben we dat
$\alpha + x = 90$ en hebben we dat de bissectrice inderdaad loodrecht op $CD$ staat.