priemtupel

$3p^4 - 5q^4 - 4r^2 + 1 = 27$
$-5q^4 - 4r^2 + 1 = 3(9-p^4)$

$\Rightarrow -5q^4 - 4r^2 +1 \equiv 0 \pmod 3$
of $2q^4+r^2 \equiv 1 \pmod 3.$
Een kwadraat (en dus ook vierdemacht) is altijd $\equiv 0,1 \pmod 3$, wat betekent dat de oplossing voor bestaande vergelijking voldoet aan
$q^4 \equiv 0 \pmod 3$ en $r^2 \equiv 1 \pmod 3.$

Nu is $q^4 \equiv \pmod 3 \iff q = 3$.
Invullen geeft $3p^4 - 4r^2 = 431$

Bestudeer de vergelijking nu $\pmod 5$. Een kwadraat is $\equiv 0,1,4 \pmod 5$, een vierdemacht is $\equiv 0,1 \pmod 5$. Dat betekent dat
$3p^4 +r^2 \equiv 1 \pmod 5$ impliceert dat
$p^4 \equiv 0 \pmod 5$ en $r^2 \equiv 1 \pmod 5$.
Daar $p^4 \equiv 0 \pmod 5 \iff p = 5$, vinden we dat $p=5, q=3$ en tot slot $r=19.$
De unieke oplossing is dus $(p,q,r) = (5,3,19)$ geeft.