Symmetrische Eigenwaarden verkleinen niet

Laat $\langle ., .\rangle$ het standaard inproduct zijn met norm $\| .\|$. We tonen volgend lemma aan:

Lemma: Indien $Q$ een reële, symmetrische $n \times n$-matrix met alle eigenwaarden groter dan 1 is, geldt dat voor alle $v \in \mathbb{R}^n$, $\|Q \cdot v\| >\|v\|$.

Bewijs: Laat $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ de eigenwaardes van $Q$ zijn. De spectraalstelling voor symmetrische matrices garandeert dat er $n$ zo'n reële eigenwaarden zijn, en dat we tevens een orthonormale basis van eigenvectoren ten opzichte van het standaard inproduct kunnen vinden. Stel $e_1, e_2, ..., e_n$ die orthonormale basis, en zodanig dat $e_i$ een eigenvector bij eigenwaarde $\lambda_i$ is.

Stel nu dat $v \in \mathbb{R}^n$. We kunnen $v$ schrijven als lineaire combinatie van $e_1, ..., e_n$. Stel dat $v=\alpha_1 e_1+...+\alpha_n e_n$. Uit de definitie van eigenvectoren volgt nu dat $Q \cdot v=\lambda_1 \alpha_1 e_1+...+\lambda_n \alpha_n e_n$. Omdat $e_1, ..., e_n$ een orthonormale basis is, geldt tevens dat $\|Q \cdot v\|=\sqrt{\alpha_1^2 \lambda_1^2+...+\alpha_n^2 \lambda_n^2}>\sqrt{\alpha_1^2+\alpha_2^2+...+\alpha_n^2}=\|v\|$ omdat alle $\lambda_i>1$. Daarmee is het lemma bewezen.

Stel nu dat $\lambda$ een eigenwaarde is van $AB$ met eigenvector $v$. Wegens het lemma geldt dat $\|AB\cdot v\| >\|B \cdot v \|>\|v\|$. Maar $\|AB \cdot v\|=|\lambda| \|v\|$. Omdat $v$ een eigenvector is, zal tevens $v \neq 0$ zodat $\|v\| >0$. Bijgevolg is $|\lambda|>1$. Q.E.D.