\ge 3/4 rood

modelopl.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline1&A&A&&&&&&\\

\hline B&BA&A&&&&&&\\

\hline B&B&1&A&A&&&&\\
\hline&&B&BA&A&&&&\\
\hline&&B&B&1&A&A&&\\
\hline&&&&B&BA&A&&\\
\hline&&&&B&B&1&A&A\\
\hline&&&&&&B&BA&A\\
\hline&&&&&&B&B&1\\
\hline\end{array}$$

merk op dat er in ieder vakje met een 1 max. $1$ vakje rood is.

Iedere vierkantje van $2*2$ max. $2$ rood.

$10$ keer $2*2$ in driehoek bovenaan (A's en overige $6$ keer $2*2$'s in de witte "driehoek")
idem 10 keer $2*2$ onderaan met B's en al

dus som van rode vakken in de $81$ vakjes is $\le 5+20*2 =45$

(overlap BA in dubbel gerekend, dus #rode (BA) moet zelfs afgetrokken worden / alle vakjes werden minimum $1$ keer geteld)

gelijkheid bvb. bij

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline R&&R&&R&&R&&R\\
\hline R&&R&&R&&R&&R\\
\hline R&&R&&R&&R&&R\\
\hline R&&R&&R&&R&&R\\
\hline R&&R&&R&&R&&R\\
\hline R&&R&&R&&R&&R\\
\hline R&&R&&R&&R&&R\\
\hline R&&R&&R&&R&&R\\
\hline R&&R&&R&&R&&R\\
\hline\end{array}$$

****

Alternatief

Met inductie kunnen we aantonen dat in een $(2k+1)(2k+1)$ vierkant maximum $(k+1)(2k+1)$ rode vierkanten kunnen staan.

Splits hiervoor in een $(2k-1)(2k-1)$ vierkant, $2$ $(2k-2)2$rechthoeken en $8$ overige plaatsen aangeduid met $X$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||c|c|}
\hline&&&&&&X&X&X\\
\hline&&&&&&X&X&X\\
\hline
\hline&&&&&&&X&X\\
\hline&&&&&&&&\\
\hline&&&&&&&&\\

\hline&&&&&&&&\\
\hline&&&&&&&&\\
\hline&&&&&&&&\\
\hline&&&&&&&&\\
\hline\end{array}$$

Vervolgens zien we in de inductiestap dat er maximaal $(2k-1)k + 2*(2k-2) + 5=(k+1)(2k+1)$ rode vierkanten kunnen staan. Hiermee is dit probleem dan ook direct opgelost.