makkelijkste ongelijkheid Iran?
Opgave - de nationale olympiade 2005 dag 1 vraag 1
Zij $a,b,c$ drie positieve reële getallen. Bewijs dat
$$\left(\frac ab+\frac bc+\frac ca\right)^2\geq(a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right).$$
- login om te reageren
Oplossing
Zet $\frac{a}{b}=x$, $\frac{b}{c}=y$ en $\frac{c}{a}=z$ zodat $xyz=1$
Na licht rekenwerk komen we uit op $$x^2+y^2+z^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \ge 3+x+y+z$$
Laten we nu homogeniseren:
$$x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx \ge 3(xyz)^{\frac{2}{3}}+\sum x^{\frac{4}{3}}y^{\frac{1}{3}}z^{\frac{1}{3}}$$
En dit volgt uit Muirhead (of AM-GM) omdat $(2,0,0) \succ \left(\frac{4}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$ en $(1,1,0) \succ \left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ Met gelijkheid als en slechts als $a=b=c$ $\blacksquare$