geslaagd procent: 70

Als we kunnen bewijzen dat het geldt voor $5$, is het ook goed, want dan zou gelden dat voor elke vijf punten dat hoogstens $7$ van de $10$ bijhorende driehoeken scherphoekig zijn. Dat we elke driehoek $C_{2}^{97}$ keer tellen is niet erg.

Stel dat er vijf punten bestaan zodat acht van de tien driehoeken scherphoekig zijn. Als we drie niet-scherpe hoeken kunnen vinden hebben we een tegenspraak.

[*] De vijfhoek is niet convex
Er is nu tenminste één punt $P$ binnen een driehoek $ABC$. Tenminste twee van de hoeken $\angle APB$, $\angle APC$, $\angle BPC$ zijn groter dan of gelijk aan $90°$.Daarom is $ABCQ$ (met Q het vijfde punt) convex (anders hebben we een tegenspraak). Maar dan is tenminste één van de hoeken van $ABCQ$ groter dan $90°$. We hebben nu drie stompe hoeken.

[*] De vijfhoek is convex
De som van de hoeken van een vijfhoek is $540°$. Er zijn dus tenminste 2 hoeken groter dan of gelijk aan 90°. We gaan enkel verder op het geval van juist 2 van die hoeken, want anders zouden we klaar zijn. We kiezen $4$ van de vijf punten zodat geen van de hoeken van die vierhoek overeenstemt met een stompe hoek van de vijfhoek. Er zijn $2$ gevallen:

-Er ligt geen enkel hoekpunt tussen de stompe hoeken:
Kies juist één van de twee hoekpunten.

-Er ligt $1$ hoekpunt tussen de stompe hoeken:
Kies het hoekpunt tussen de twee stompe hoeken niet.

De gekozen vierhoek geeft nu de derde niet-scherpe driehoek.