nog een Marokkaanse ongelijkheid
Opgave - Marokko 2011 dag 1 vraag 6
Zoek alle $x,y,z,t \in \mathbb{R}_{+}$ die voldoen aan
$\left\{\begin{matrix}
x+y+z+t=4\\
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}=5-\frac{1}{xyzt}
\end{matrix}\right.$
- login om te reageren
Oplossing
De eerste vergelijking is gelijk aan $\frac{x+y+z+t}{4}=1$, wat het rekenkundig gemiddelde is.
Volgens HM-GM-AM bekomen we twee ongelijkheden:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\ge 4$
$\sqrt [4] {xyzt}\le 1 \Rightarrow \frac{1}{xyzt} \ge 1$
Deze twee optellen levert een ongelijkheid die equivalent is aan
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\ge 5-\frac{1}{xyzt}$
De gelijkheid treed volgens HM-GM-AM enkel op als $x=y=z=t$.
De enige manier dat dit kan is als $x=y=z=t=1$ en daarmee is $(1,1,1,1)$ ook de enige oplossing die hieraan voldoet. $\blacksquare$