Home › Archief › › 2011 › vermomde ongelijkheid

vermomde ongelijkheid

Tags:

Opgave - Marokko 2011 dag 1 vraag 1

Vind alle oplossingen $x,y,z \in \mathbb{R}^+$ :
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2010$
$x+y+z=\frac{3}{670}$

Oplossing

Ingediend door Art

$\frac{3}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}+ \frac{1}{z}} = \frac{x + y + z}{3} = \frac{1}{670}$
waarbij $\frac{3}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}+ \frac{1}{z}}$ gelijk is aan het harmonisch gemiddelde van x, y en z en $\frac{x + y + z}{3}$ gelijk is aan het rekenkundig gemiddelde van x, y en z. Het HM is altijd kleiner of gelijk aan het AM bij dezelfde getallen, en gelijkheid geldt wanneer x=y=z, zoals in dit geval. Er bestaat dus maar één oplossing: $x = y= z = \frac {1}{670} $

Ingediend door Roels

Of met Cauchy-Schwarz in Engel form:

$2010=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}=\frac{9}{\frac{3}{670}}=2010$

Zodat $x=y=z=\frac{1}{670}$ :)