getaltheorie met priemgetallen

Stel dat $p_n$ zo'n priemgetal is. Dan moet $p_n(p_n+1)/2=k*p_1*p_2*...*p_n$, en aangezien het voor $p_n=2$ niet geldt kun je stellen dat $(p_n+1)/2=k*p_1*p_2*...*p_{n-1}$. Voor $p_n=5$ wordt dit $3=k*2*3$ wat geen oplossingen geeft omdat het rechterlid te groot wordt. Probeer nu te bewijzen dat het rechterlid steeds groter zal zijn dan het linker.
Vertrek van de ongelijkheid voor $p_n$: $(p_n+1)/2$ <$p_1*...*p_{n-1}$
gelijkwaardig met:
$p_n(p_n+1)/2$<$p_1*...*p_n$
Dit geldt voor $p_n \ge 5$, wat we zullen bewijzen met inductie.

Wegens het Postulaat van Bertrand is er minstens 1 priemgetal $p_{n+a}\leq2p_n$, dus ook $p_{n+1}\leq2p_n$,
wat betekent dat $(p_{n+1}+1)/2 \le p_n+1 \le 2 p_1*p_2*...*p_{n-1} $<$ p_1*p_2*...*p_n$
Zo geldt via een soort van volledige inductie dat er geen oplossingen zijn voor $p_n>3$, en is $p_n=3$ de enige oplossing.