Fun met determinanten
Opgave - PUMA 2010 vraag 5
Zij $A = (a_{ij})_{1\le i,j\le n}$ een $n\times n$ matrix met determinant gelijk aan $1$. Zij $B = (a_{ij}+1)_{1\le i,j\le n}$ de matrix bekomen door alle entries van $A$ met $1$ te verhogen. Toon aan dat $$\det B=1+\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(A^{-1})_{ij}.$$
- login om te reageren
Oplossing
Noteer $J$ de $n\times n$ matrix bestaande uit enkel enen. Dan geldt $$\det B = \det(A+J) = (\det A)\det(I+A^{-1}J) = \det(I+A^{-1}J).$$ Nu heeft $A^{-1}J$ rang $1$ (want $J$ heeft rang $1$ en $A^{-1}J\neq 0$). Dat betekent dat de eigenwaarden van $A^{-1}J$ bestaan uit $n-1$ keer $0$ en $1$ keer Trace$(A^{-1}J)$ (want de som moet gelijk zijn aan Trace$(A^{-1}J)$).
Aangezien Trace$(A^{-1}J) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(A^{-1})_{ij}$ zijn de eigenwaarden van $I+A^{-1}J$ dus $1$ keer $1+\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(A^{-1})_{ij}$ en $n-1$ keer $1$. Er geldt dus $$\det(I+A^{-1}J)=1^{n-1}\left(1+\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(A^{-1})_{ij}\right)=1+\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(A^{-1})_{ij},$$ wat te bewijzen was.